more than の形だと、「～を超える；～より多い」（例：more than 100 people「100人を超える人々」）という意味の他に「単に～にとどまらない；非常に～で」の意味があり、more than happy だと「非常にうれしく」といった意味合いになります。“more than happy = extremely happy”という、『OXFORD現代英英辞典』の説明はシンプルでわかりやすいですね！（笑）
全体では、more than happy to … の形で、後ろに動詞を続けて、「喜んで…する」という意味です。例えばメールで、
・教授からの授業に関するお知らせで…
I am more than happy to answer any questions that you may have.
（質問があれば喜んで受け付けますよ。）
・知人と会う約束なら…
I would be more than happy to meet with you between 12:00-13:00 tomorrow.
（明日の12時～13時の間に、ぜひ会いましょう。）
などなど、メールボックスを検索しただけでも10件以上出てきました！